Hängt der Zustand $x_{k+1}$ zum Zeit­punkt $k+1$ line­ar ab vom vor­he­ri­gen Zustand $x_k$ und dem Steue­rungs­in­put $u_k$, so lässt sich die Sys­tem­dy­na­mik schrei­ben als

$$x_{k+1}=Ax_k+Bu_k$$

wobei $x_{k+1}, x_k \in \mathbb{R}^d, u_k\in \mathbb{R}^m$ typi­scher­wei­se mehr­di­men­sio­na­le Vek­to­ren sind. $A$ und $B$ sind Sys­tem­ma­tri­zen, die den Ein­fluss von Zustand und Steue­rungs­si­gnal auf den zukünf­ti­gen Zustand codie­ren. Soll das Sys­tem so gesteu­ert wer­den, dass es einer Tra­jek­to­rie $f_1, …, f_n \in \mathbb{R}^d$ folgt bei mög­lichst klei­nem Steue­rungs­in­put, so kann das for­mu­liert wer­den als das Optimierungsproblem

$$\begin{align} \min_{x_1, …, x_n, u_1, …, u_n}  ~~~& \sum_{k=1}^n \|x_k-f_k\|_1+\|u_k\| \\ \text{s.t.} ~~~&x_{k+1}=Ax_k+Bu_k~~~ k=1, …, n \\ ~~~& x_1=x_{start} \end{align}$$

wobei $x_1$ als Start­zu­stand $x_{start}$ fest­ge­legt sei. Die Opti­mie­rungs­va­ria­blen sind die $n$ Steue­rungs­in­puts $u_1, …, n_n$ und die durch die dyna­mi­schen cons­traints beschränk­ten Zustän­de $x_1, …, x_n$. Es han­delt sich um ein Opti­mie­rungs­pro­blem mit $nd+nm$  Variablen.

Es kann refor­mu­liert wer­den als linea­res Pro­gramm mit der Ziel­funk­ti­on $\|x‑f\|_1+\|u\|_1=\|v^{\Delta}\|_1+\|v^u\|_1$ wobei $x=[x_1^T, …, x_n^T]^T$ und $u=[u_1^T, …, u_n^T]^T$ mit $v^{\Delta} \in \mathbb{R}^{nd}$ und $v^u\in \mathbb{R}^{nm}$ den Vek­to­ren der Abso­lut­be­trä­ge der Ele­men­te von $x‑f$ und $u$.

$$\begin{align} \min_{x_1, …, x_n, u_1, …, u_n, v^{\Delta}, v^u}  ~~~& \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^d v^{\Delta}_{kl}+ \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m v^u_{kl} \\ \text{s.t.} ~~~&x_{k+1}=Ax_k+Bu_k~~~ k=1, …, n \\ ~~~& v^{\Delta} \ge x‑f ~~~ v^{\Delta}\ge -(x‑f) \\ ~~~& v^u\ge u ~~~~~~~~~~~ v^u \ge ‑u \end{align}$$

Die ers­te Unglei­chung reprä­sen­tiert die Dyna­mik des Sys­te­mes wäh­rend die letz­ten zwei Paa­re von die Posi­ti­vi­tät der Abso­lut­re­si­du­en $v^{\Delta}$ und $v^u$ sicher­stel­len [1, p. 294].