Hängt der Zustand \(x_{k+1}\) zum Zeit­punkt \(k+1\) line­ar ab vom vor­he­ri­gen Zustand \(x_k\) und dem Steue­rungs­in­put \(u_k\), so lässt sich die Sys­tem­dy­na­mik schrei­ben als

$$x_{k+1}=Ax_k+Bu_k $$

wobei \(x_{k+1}, x_k \in \mathbb{R}^d, u_k\in \mathbb{R}^m\) typi­scher­wei­se mehr­di­men­sio­na­le Vek­to­ren sind. \(A\) und \(B\) sind Sys­tem­ma­tri­zen, die den Ein­fluss von Zustand und Steue­rungs­si­gnal auf den zukünf­ti­gen Zustand codie­ren. Soll das Sys­tem so gesteu­ert wer­den, dass es einer Tra­jek­to­rie \(f_1, …, f_n \in \mathbb{R}^d\) folgt bei mög­lichst klei­nem Steue­rungs­in­put, so kann das for­mu­liert wer­den als das Optimierungsproblem

$$ \begin{align} \min_{x_1, …, x_n, u_1, …, u_n}  ~~~& \sum_{k=1}^n \|x_k-f_k\|_1+\|u_k\| \\ \text{s.t.} ~~~&x_{k+1}=Ax_k+Bu_k~~~ k=1, …, n \\ ~~~& x_1=x_{start} \end{align}$$

wobei \(x_1\) als Start­zu­stand \(x_{start}\) fest­ge­legt sei. Die Opti­mie­rungs­va­ria­blen sind die \(n\) Steue­rungs­in­puts \(u_1, …, n_n\) und die durch die dyna­mi­schen cons­traints beschränk­ten Zustän­de \(x_1, …, x_n\). Es han­delt sich um ein Opti­mie­rungs­pro­blem mit \(nd+nm\)  Variablen.

Es kann refor­mu­liert wer­den als linea­res Pro­gramm mit der Ziel­funk­ti­on \(\|x‑f\|_1+\|u\|_1=\|v^{\Delta}\|_1+\|v^u\|_1\) wobei \(x=[x_1^T, …, x_n^T]^T\) und \(u=[u_1^T, …, u_n^T]^T\) mit \(v^{\Delta} \in \mathbb{R}^{nd}\) und \(v^u\in \mathbb{R}^{nm}\) den Vek­to­ren der Abso­lut­be­trä­ge der Ele­men­te von \(x‑f\) und \(u\).

$$ \begin{align} \min_{x_1, …, x_n, u_1, …, u_n, v^{\Delta}, v^u}  ~~~& \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^d v^{\Delta}_{kl}+ \sum_{k=1}^n \sum_{l=1}^m v^u_{kl} \\ \text{s.t.} ~~~&x_{k+1}=Ax_k+Bu_k~~~ k=1, …, n \\ ~~~& v^{\Delta} \ge x‑f ~~~ v^{\Delta}\ge -(x‑f) \\ ~~~& v^u\ge u ~~~~~~~~~~~ v^u \ge ‑u \end{align}$$

Die ers­te Unglei­chung reprä­sen­tiert die Dyna­mik des Sys­te­mes wäh­rend die letz­ten zwei Paa­re von die Posi­ti­vi­tät der Abso­lut­re­si­du­en \(v^{\Delta}\) und \(v^u\) sicher­stel­len [1, p. 294].